Page 162 - Phương Trình Mũ Logarit

Xét hàm f(t) = log2 t + 1 trên (0; +Q0 ).
1
f'(t) = ■ +1 > 0 với mọi t >0.
t l n 2
nên phương trình f(x^ - X + 1) = f(x) <=> x^ - X + 1 = X <=> (x -1) ^ =0 <=> X = 1
ih f(x
Vậy nghiệm của hệ là X = 1, y = 0.

log2 -v/ĩ + 3 sin X = log3 (3 cos y)
Bài toán 14.28: Giải hệ phương trình:
log, -y/l + 3 cos y = log, (3 sin x)

Giải

Đặt u = sinx, V = cosy, ĐK: 0 < u, V < 1.
l log2 Vl + 3sinx =log3(3cosy) og2 Vl + 3 sin X = log, (3 cos y ) íl ílog2 (l+ 3u) = 21og3(3v)og2 ( l + 3u) = 21og3(3v)
Hệ:
log2 Ạ + 3 cos y = log, (3 sin x) Ịlog2 (l + 3v) = 21og3(3u)

Do đó log2 (l + 3u) + 21og3(3u) = log2 (l + 3v) + 21og3(3v)
Xét f(t) = log2 (l + 3t) + 21og3(3t), 0 < t < 1.

f'(t) = ---------------1— ^ > 0 nên f đồng biến trên (0; 1],
(l + 3t)ln2 t l n 3
do đó PT <» u = V = t.
Ta có PT: log2 ( l + 3t) = 21og3(3t), giải ra nghiệm duy nhất t = 1 nên

7T , _
[sinx = 1 X = — + k 27 ĩ
2 (k, m e Z).
Icosy = 1
y = m ln
n , -
x = — + k27T,^
Vậy nghiệm của hệ phương trình: 2 (k, m e Z).
y = m2n

2 x - y + l
(1)
Bài toán 14.29: Giải hệ phương trình:
[ y ^ + 4 x + l + ln(y^ + 2x) = 0 (2)
Giải
c l - t .
Đặt t = 2x - y thì (1) <=> (1 + 4').5‘-‘ = 1 + 2 it+i
« 1 + 4‘ = (1 + 2‘^' ) 5‘-' « (1 - 5‘-‘) + 4(4‘-' - 10‘-‘) = 0
Xét t > 1 thì VT > 0, xét t < 1 thì VT < 0
Xét t = 1 thì VT = 0 nên chỉ có nghiệm t = 1
< = > 2 x - y - l = 0 < » 2 x = y + l .
Thế vào (2): y^ + 2y + 3 + ln(y^ + y + 1) = 0.

161