Page 135 - Phương Trình Mũ Logarit

Bài toán 12.10: Tìm m để bất phương trình:

( l n x + — + ( l - 3 w ) ( l n x + - ^ — ) + 3 w - 2 > 0
In.v Inx
Nghiệm đúng với mọi X > 0, X 5 ^ 1.
Giải

Điều kiện: X >0, X 1. Đặt t = \n x + —^ , 111 >2.
Inx

Bất phương trình: ( l n x + ^ — + ( l - 3 / M ) ( l n x + ^ — ) + 3 w - 2 > 0 (1)
I n x I n x
«» t^ + (1 - 3m)t + 3m - 2 > 0 (2)
BPT (1) nghiệm đủng với mọi X > 0
<=> BPT (2) nghiệm đúng với mọi t mà 11 1 >2.
BPT (2) o (t - l)(t - 3m + 2) > 0
Tam thức bậc hai có 2 nghiệm t = 1 v à X =3m - 2
Xét 3m - 2 = 1 o m = 1 thì f(t) = (t - 1)^ > 0, Vt 1
=í> f(t) > 0, Vt mà 11 1 >2.
Xét 3m - 2 > 1 <=> m > 1 thì => f(t) > 0 <» t < 1 hoặc t > 3m - 2.

Điêu kiện f(t) > 0, Vt mà 11 1 > 2 là 3m - 2 < 2 <=> m < —

X 4
Kểt hợp thì 1 < m < —.
3
Xét 3m - 2 < 1 <=> m < 1 thì f(t) > 0 <=> t < 3m - 2 hoặc t > 1.
Điều kiện f(t) > 0, Vt mà 11 1 > 2 là 3m - 2 > -2 <=> m > 0
4
Kêt hợp thì 0 < m < 1. Vậy điêu kiện cân tìm là: 0 < m < —.

Cách khác: Đánh giá tham số m một bên rồi xét hàm số.
Bài toán 12.11: Tìm tham số để bất phương trình:

1 + log5(x^ + 1) ^ log5(mx^ + 4x + m) có nghiệm với mọi X.
Giải
BPT: log5 5 (x^ + 1) ^ log5 (mx^ + 4x + m)
|5(x^ + l ) > m x ^ + 4 x + m
Cí> (hàm đồng biến)
1 m x + 4 x + m > 0
| ( 5 - m ) x ^ - 4 x - m + 5 > 0 ( 1 )
Cí>
l m x ^ + 4 x + m > 0 ( 2 )

134