Page 132 - Phương Trình Và Bất Đẳng Thức

Do đó max f \x ) == max f(4)} f(4) = -m^ - 15m + 16
vgỊ-1 ,4 ]
Nên có -m" - 15m t 16 < 0 <=> m < -16 hay m > 1
Vậy diều kiện có nghiệm là -16 < m < 1

Bài toán 5.72: rim số nghiộm của phương trình:
X** t- 2x^ - 2x^' - x^ - 3x^ - 6x - 3 0.
Giải
Phương trình tương đương: (x^ ) 3)(x^ - x^ - 2x - 1) = 0.
<» x^ + 3 = 0 hoặc - x^' - 2x - 1 = 0
«• X = - \Í3 hoặc x^ - x^ - 2x - 1 = 0.
Xét phương trình: x^ - X" - 2x - 1 == 0 x^ = (x + 1)^ > 0.

Do đó x'^ > 0 => X > 0 => (x + 1 )^ > 1 => x^ > 1 => X > 1.
Do đó nghiộm của phương trình x^ - x^ - 2x - 1 = 0 nếu có thì X > 1.
Dặt f(x) = x^ - x^ - 2x - 1, X > 1.
f'(x) = 5x'* - 2x - 2 = 2(x^ - 1)1 2x(x^ - 1) > 0.
Do đó f đồng biến. Vì f( 1) “ -3 < 0 và l'(2) = 23 > 0 nên f(x) = 0 có nghiệm duy
nhất Xo > 1.
Vậy phương trình cho có đúng 2 nghiêm.

Bài toán 5.73: Cho ab ^ 0. Chứng minh phương trình:
x^ - 3(a^ + b^)x + 2(a^ I b^) 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Giải
Xét hàm số y x^ - 3(a^ t- b^)x + 2(a^ I- b^), D R
y’ = 3x^ - 3(a^ t- b^), y' = 0 «> x, , 2 ± Vơ' , (S = 0, p = a' + b")
Vì y' bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt nên có CD và CT.

Ta có; y = — X. y' - 2(a" + b^)x t 2(a^ -t b^) nên:

ycD. ycT (-2(a' f b')x, -t 2(a' f- bỏ) (-2(a' -t- b')x2 + 2(a' + b'))
= 4(a^ t b^)' - 4(a^ ( b~)^ - -4a^b^(3a^ -+ 3b^ - 2ab)
= -4a^lr|2a- + 2b^ + (a - b)^l < 0
Vậy phương trình cho luôn có 3 nghiệm phân biệt.
Bài toán 5.74: Chúng minh rằng diều kiện cần và đủ để phưong trình x^ + px + q = 0
có ba nghiệm phân biệt là; 4p^ I 27q^ < 0.
Giải
Xét hàm số f(x) =-■ x^ t px -I q, D = R.
Ta có f'(x) = 3x^ I p; f'(x) 0 o 3x' + p ^ 0.

131