Page 106 - Phương Trình Mũ Logarit

Bài toán 9.2: Chứng minh rằng phương trình = (x + l)’^ có một nghiệm dương
duy nhất.
Giải
Với X > 0, PT: (x + l)lnx = xln(x + 1) «> (x + l)lnx - xln(x + 1) = 0
Xét hàm số f(x) = (x + l)lnx - xln(x + 1), X > 0.
, x + 1 , , X , X í 1
f (x) = Inx + -------- ln(x + 1) - In —— + — + •
x + 1 x + 1 X x + 1
f \ 1 ^ 1
f " ( x ) ^ < 0 , V x > 0
V x + x^ ) (x + 1)^
Nên f ' nghịch biến trên (0; +co),
Vì lim f '(x) = 0 nên f '(x) < 0, Vx do đó f(x) nghịch biến trên R nên f(x) = 0
X->+00
có tối đa 1 nghiệm.
Mà hàm f(x) liên tục trên khoảng (0; +oo), f(2) = 31n2 - 21n3 = ln8 - ln9 > 0 và
f(3) = 41n3 - 31n4 = ln81 - ln64 > 0 ^ đpcm.

Cách khác: Xét hàm f(t) = , t > 0.

Bài toán 9.3: Cho 3 phương trình: cosx = X (1); sin(cosx) = X (2); cos(sinx) = X (3).
Chứng minh rằng mỗi phương trình có nghiệm duy nhất lần lượt là a, p, y và
thỏa mân: ya.lnp < Py.lna < ap.lny.
Giải
Xét hàm số tương ứng với PT (1) là f(x) = X - cosx, D= R
Ta có f ' ( x ) = 1 + sinx > 0, Vx nên f là hàm đồng biến.
Mà f(0) < 0, f ( l ) > 0 và f là hàm liên tục nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm
duy nhất a e (0;1).
Chứng minh tương tự ta có 3 nghiệm a, p, y e (0, 1).
InP Ina Iny ...
Bất đang thức <=> < —— < (*)
p a y

Int
Xét hàm số g(t) = , 0 < t < 1.

1- l n t
Ta có g'(t) > 0 nên hàm số này đồng biến trên (0; 1).
t ^
Giả sử p > a thì p = sin(cosP) < cosp < cosa = a, vô lý nên p < a.
Giả sử y < a thì y = cos(siny) > cosy > cosa = a, vô lý nên a < y.
- , InP Ina Iny
Vây p < a < y hay .
p a y

105