Page 11 - Bí Mật Toán Học

chỉ là một bộ phận trong tập họp các số tự nhiên, ngoài số chẵn ra, số tự
nhiên còn bao gồm số lẻ. Xem ra như vậy thì số chẵn sẽ không thể nhiều
hon số tự nhiên được.
Tuy nhiên, thực chất của vấn đề là muốn hỏi mối quan hệ lớn nhỏ
giữa hai tập họp số tự nhiên và số chẵn. Tập họp xét về mặt toán học
là tên gọi chung của nhũng cá thể cùng loại. Chúng ta gom mọi số tự
nhiên lại thì gọi là tập họp các số tự nhiên, mọi số chẵn thì gọi là tập
họp số chẵn. Vậy làm sao so sánh được sự lớn nhỏ của hai tập họp?
Đối vói những tập họp hữu hạn thì số lượng các phần tử trong tập họp
sẽ quyết định độ lớn nhỏ của tập họp đó, ví dụ tập họp học sinh của
một trườiag sê lớn hon tập họp học sinh của một lóp. Chỉnh thể luôn
lớn hon 1 bộ phận của nó. Thế nhưng đối với tập họp vô hạn thì có
như vậy không?
Sô lượng các phần tử trong tập họp vô hạn là vô hạn, không thể đếm
hết được. Ví dụ tập họp số tự nhiên, tập họp số chẵn... là lìhũng tập họp
vô hạn. Vói những tập họp vô hạn, chúng ta không thể sử dụng các
phưong pháp tính toán đối vói tập họp hữu hạn để so sánh lón nhỏ.
Ngưòi ta cho rằng, nếu giữa hai tập họp vô hạn có thể tìm được mối quan
hệ đối ứng 1-1 (tức là ứng vói mỗi phần tử ở tập họp này, ta có thể tìm
được một phần tử ở tập họp kia) thì chúng ta nói hai tập họp đó bằng
rữiau. Đó chính là " lý luận về độ lớn" đối vói tập họp vô hạn.
Với 2 tập hợp số tự nliiên và số chẵn, chúng ta có thể lập ra quan hệ
đối ứng như sau:
Số nguyên: ...-n - 3 - 2-1 0 1 2 3m ...
Số chẵn: ... -2n - 6- 4- 2 0 2 4 6m ...
Bạn thấy rằng, bất kỳ một số k nào trong tập họp số nguyên ta cũng
tìm được một số 2k tương ứng trong tập họp số chẵn. Như vậy ta có mối
quan hệ đối ứng 1 -1 giữa hai tập họp này.
Vì thế theo nguyên tắc so sánh độ lớn giữa hai tập họp vô hạn, hai
tập họp số nguyên và số chẵn là bằng nhau. Kết luận này có vẻ khó hiểu
đối vói thói quen của chúng ta, thế nhưng quả thật nó là như vậy.
Kỳ thực không chỉ có tập họp số nguyên và tập họp số chẵn là bằng
nhau mà có nhiều tập họp số khác nữa cũng bằng nhau.