Page 353 - AllbertEstens

Cách tôt nhất để làm việc này là đưa ra các vật thể toán học gọi

là toán tử (thuộc một lóại nào đó có những tính chất cần thiết để

xây dựng hình thức luận của cơ học lượng tử) cho phép biến đổi

một vectơ thành một vectơ khác của không gian (sự ánh xạ của

không gian lên chính nó).

Nói một cách không chặt chẽ, toán tử, ký hiệu là Â (có thể

in đậm và bỏ mũ: A, cũng có thể bỏ mũ mà không cần in đậm:

A), là một vật thể toán học khi tác dụng lên một vectơ bất kỳ Vị/

sẽ chuyển nó thành một vectơ khác, ộ:

<ị> = ÂiỊ/. (3)

Thí dụ Â = X , khi đó <Ị> chỉ đơn giản là kết quả thu được

bằng cách nhân Vị/ với x; nếu  = d/dx, <Ị> sẽ là kết quả khi lấy đạo

hàm Vị/ theo X .

Thuộc về một toán tử Â, có thể xẩy ra trường hợp có một

vectơ V (hoặc một tập hợp vectơ Uj) được xác định bằng phương

trình sau đây:

Âiụ — av|/ hay Âuj = ajUj. (4)

Khi đó VỊ/ (hay các vectơ U j) được gọi là (các) vectơ riêng của

toán tử Â và a (hay các giá trị aj) là (các) giá trị riêng tương

ứng.

Một thí dụ là phương trình Schrödinger trạng thái dừng,

ở đây <Ị> chỉ tập hợp các vectơ riêng (U j) của toán tử

Hamintôniên (toán tử năng lượng) H, còn E chỉ tập hợp các giá

trị riêng tương ứng (EJ - các mức năng lượng của hệ được mô tả

bằng H.

Vì các vectơ riêng của một toán tử tạo thành một tập hợp

đủ cho nên ta có thể khai triển một vectơ bất kỳ Vị/ theo các vectơ

riêng như sau (trong không gian vectơ ba chiều, đó là việc viết

một vectơ bất kỳ V theo các vectơ đơn vị cơ sở i, j, k trên các

351