Page 352 - AllbertEstens

Một cách đơn giản, ta hiểu không gian vectơ tổng quát như

là sự mở rộng không gian vectơ ba chiều quen thuộc sang trường

hợp nhiều chiều, mỗi vectơ của không gian này có một số thành

phần phức (các "hình chiếu" trên các trục tọa độ) nhiều hơn 3.

Không gian vectơ tổng quát này cũng được trang bị một số phép

toán: Nhân vectơ vối một sô' (phức), cộng các vectơ với nhau, và

nhân vô hướng hai vectơ với nhau. Trong hai phép toán đầu, kết

quả thu được là một vectơ mói. Trong phép toán thứ ba, kết quả

thu được (gọi là tích vô hướng) là một con sô' (vô hưổng).

m

Lấy thí dụ hai vectơ <p và Vị/, tích vô hướng của chúng,

thường viết là (cp,vị/) hay <(p I vị/> nếu sử dụng các ký hiệu "bra"

và "ket" của Dirac, theo định nghĩa, là:

((p,iị/) = <ọ I iị/> = Ị (p*vị/dV, ' (1)

cp* là liên hợp phức của cp (nếu (Ị) = f + ig thì <p* = f - ig), tích

phân lấy trên toàn khoảng có ý nghĩa của biến được xét.

Tích vô hướng của một vectơ với chính nó gọi là chuẩn của

vectơ:

N = í \j/*v|/dV = í Ilị/12 dV; (2)

nếu N hữu hạn, vectơ được gọi là binh phương khả tích; nếu N

=1, ta nói là vectơ đã chuẩn hoá.

Không gian vectơ có số chiều vô hạn (tuy không nhất

thiết) với các phép toán kể trên được gọi là không gian Hilbert.

Một trường hợp riêng đơn giản của không gian này là trường

hợp mà các vectơ của nó là bình phương khả tích. Các tính chất

này là cần thiết để xây dựng hình thức luận tổng quát của cơ

học lượng tử.

k

Ở trên ta mới chỉ nói đến các quan hệ đôi giữa các yếu tố

(các vectơ) của không gian. Công việc còn phải làm tiếp là phát

triển những phép toán được xác định trên toàn không gian.

350