Page 187 - Thi Tự Luận Môn Toán

2 Tim m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và .. ..(1,00 điểm)
Ta có y ’ = -3x2+ 6x + 3(m2 -1), y ’= 0 « • X2- 2x - m2+ 1 = 0 (2) 0.5C
|(Ị.j Hàm sô' (1) có cực trị <=> (2) có 2 nghiệm phân biệt À’ = m2 > 0
U <=> m * 0
Gọi A, B là hai điểm cục trị => A(1 - m; -2- 2m3), B(1 + m; - 2 + 2m3). 0.5C

o cách đều A và B <=> OA = OB <=> 8mJ= 2m <=> m = ± — (vì m * 0)

Câu II 2.0«
I Giải phương trình lượng giác (1.00 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với sin7x - sinx + 2sin2 2x -1 = 0 0.5C
<=> cos4x(2sin3x - 1) = 0
0.5C
• cos4x = 0<=> X = — + k — (k e Z) (ke Z)
8 4
• sin3x = - < = > * = - — + £ — hoặc x = — + k — ( k e Z )
2 18 3 18 3
' 2 Chứng minh phương trình có 2 nghiệm (1.00 điểm)
Điều kiện X > 2. Phuofng trình đã cho tương đương với 0.5C
(x - 2)(x3 + 6x2 - 3 2 - m ) = 0<=> x ,= 2 ,
X + 6 x - 3 2 - m = 0
Ta chứng minh phuơng trình: X3 + 6x2 - 32 = m (1) có một nghiệm
trong khoảng (2; +CO )
Xét hàm f(x) = X3 + 6x2 - 32 vối X > 2 ta có f’(x) = 3x2 + 12x > 0. 0.5C
Vx > 2
Bảng biến thiên
X 2 + 00
f(x ) +
f(x) ______ + 00

0 -------
Từ bảng biến thiên ta thấy với mọi m > 0, phương trình (1) luôn có
một nghiệm trong khoảng (2; +oo)
Vậy với mọi m > 0 phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thực
phân biệt

18]